Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 3 x + 2$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 3 x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{5}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{5}$ .

$2 \int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u)$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sposta $u^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{- 5} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 5}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ come $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{4}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

Passaggio 9.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u^{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{2}{3 (4 u^{4})} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- \frac{2}{12 u^{4}} + C$

Passaggio 9.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12 u^{4}} + C$

Passaggio 9.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $12 u^{4}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (6 u^{4})} + C$

Passaggio 9.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (6 u^{4})} + C$

Passaggio 9.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{6 u^{4}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$