Calcolo Esempi

$\int \frac{{(4 + 2 \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $- d u = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.1.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.1.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 2.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 2.1.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.3.9

$2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.3.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.3.11

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.3.12

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$