Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.6.3

Sposta ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 1.9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Passaggio 1.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Passaggio 1.10.2

$2$ e $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 1.10.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 1.10.4

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.8.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.9.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.9.3

Sposta ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.9.4

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.13.3

$- 2$ e $\frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.13.4

$\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.17

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.19

Per scrivere ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.20

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22

Moltiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.1

Sposta ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.4

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.22.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.23

Semplifica ${(x^{2} - 4)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.24

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.25

Riscrivi $\frac{\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.26

Moltiplica $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.27

Moltiplica ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.27.1

Sposta ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 2.27.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.27.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 2.27.4

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.28

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 2.29

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 4 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.3.1.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.3.1.2

Moltiplica $4 (3 \cdot - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.3.1.2.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.3.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.3.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.30.4.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.4.2

Scomponi $4$ da $- 48$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 12}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.30.4.3

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 \cdot - 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 12)}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.6.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.6.3

Sposta ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Passaggio 4.1.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.1.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Passaggio 4.1.9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

Passaggio 4.1.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

Passaggio 4.1.10.2

$2$ e $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 4.1.10.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

Passaggio 4.1.10.4

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x = 0$

Passaggio 5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ come ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.6

Moltiplica $27$ per $- 4$ .

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x^{2} - 108 = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Somma $108$ a entrambi i lati dell'equazione.

$27 x^{2} = 108$

Passaggio 6.3.3.2

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 108$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 108$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

Passaggio 6.3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{108}{27}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.3.1

Dividi $108$ per $27$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 6.3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 6.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 6.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 6.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 6.3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 6.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 6.4

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 12)}{9 {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 (0 - 12)}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $4$ per $- 12$ .

$\frac{- 48}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.3.2

Scomponi $3$ da $- 48$ .

$\frac{3 (- 16)}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Scomponi $3$ da $9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 (- 16)}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 9.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 16}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 9.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = {(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (0) = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è ${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {(4 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{4}}$

Passaggio 13.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0}$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Passaggio 13.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

Passaggio 13.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = \frac{4 (- 4)}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.2.2

Sottrai $4$ da $16$ .

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 4) = - \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2.4

La risposta finale è $- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 1$ , dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata prima $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata prima $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{4 (1)}{3 {({(1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2.3

La risposta finale è $\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{4 (4)}{3 {({(4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(4^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.5.2.2.2

Sottrai $4$ da $16$ .

$f' (4) = \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.5.2.3

La risposta finale è $\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 2$ , allora $x = - 2$ è un minimo locale.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 14.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 14.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un minimo locale.

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 14.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

$x = - 2$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = 2$ è un minimo locale

Passaggio 15