Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{15} x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

$6$ e $\frac{1}{15}$ .

$\frac{6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{6}{15}$ e $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Scomponi $3$ da $6 x^{5}$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{2 x^{5}}{5} - (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{5}}{5} - 4 x^{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 x^{5}}{5} - 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x^{5}}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

$5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.5

$\frac{10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.6

Elimina il fattore comune di $10$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.6.1

Scomponi $5$ da $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.6.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2.4

Dividi $2 x^{4}$ per $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x^{4} - 4 (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{4} - 12 x^{2}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x^{4} - 12 x^{2}$ .

$2 x^{4} - 12 x^{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 x^{4} - 12 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 x^{4} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$2 u^{2} - 12 u = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2 u$ da $2 u^{2} - 12 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $2 u$ da $2 u^{2}$ .

$2 u (u) - 12 u = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Scomponi $2 u$ da $- 12 u$ .

$2 u (u) + 2 u (- 6) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Scomponi $2 u$ da $2 u (u) + 2 u (- 6)$ .

$2 u (u - 6) = 0$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 6$

Passaggio 2.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{6}$

Passaggio 2.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{6}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{6}$

Passaggio 2.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{15} \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{15}$ per $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\sqrt{6}$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{6}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {(\sqrt{6})}^{6} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{6}$ come $6^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {(6^{\frac{1}{2}})}^{6} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 6} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{6}{2}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{3}{1}} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{3} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 216 - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{3 (5)} \cdot 216 - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Scomponi $3$ da $216$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 72) - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 72) - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{6}) = \frac{1}{5} \cdot 72 - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

$\frac{1}{5}$ e $72$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {(\sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{4}$ come $6^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {(6^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Passaggio 3.3.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 3.3.2.1.5.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 1 \cdot 36$

Passaggio 3.3.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 36$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $- 36$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 36 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.3.2.3

$- 36$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72}{5} + \frac{- 36 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\sqrt{6}) = \frac{72 - 36 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Moltiplica $- 36$ per $5$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{72 - 180}{5}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sottrai $180$ da $72$ .

$f (\sqrt{6}) = \frac{- 108}{5}$

Passaggio 3.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\sqrt{6}) = - \frac{108}{5}$

Passaggio 3.3.2.7

La risposta finale è $- \frac{108}{5}$ .

$- \frac{108}{5}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\sqrt{6}$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ è $(\sqrt{6}, - \frac{108}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\sqrt{6}, - \frac{108}{5})$

Passaggio 3.5

Sostituisci $- \sqrt{6}$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{6}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {(- \sqrt{6})}^{6} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{6}}^{6}) - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot (1 {\sqrt{6}}^{6}) - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{6}}^{6}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {\sqrt{6}}^{6} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{6}$ come $6^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot {(6^{\frac{1}{2}})}^{6} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 6} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{6}{2}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{\frac{3}{1}} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.4.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 6^{3} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.5

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{15} \cdot 216 - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.6.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{3 (5)} \cdot 216 - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.6.2

Scomponi $3$ da $216$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 72) - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 72) - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{1}{5} \cdot 72 - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.7

$\frac{1}{5}$ e $72$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {(- \sqrt{6})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.8

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{6}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - ({(- 1)}^{4} {\sqrt{6}}^{4})$

Passaggio 3.5.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.9.1

Sposta ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 {\sqrt{6}}^{4})$

Passaggio 3.5.2.1.9.2

Moltiplica ${(- 1)}^{4}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.9.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) {\sqrt{6}}^{4})$

Passaggio 3.5.2.1.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + {(- 1)}^{4 + 1} {\sqrt{6}}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.9.3

Somma $4$ e $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + {(- 1)}^{5} {\sqrt{6}}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {\sqrt{6}}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.11

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{4}$ come $6^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - {(6^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Passaggio 3.5.2.1.11.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Passaggio 3.5.2.1.11.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{4}{2}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.11.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 3.5.2.1.11.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 6^{2}$

Passaggio 3.5.2.1.12

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 1 \cdot 36$

Passaggio 3.5.2.1.13

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 36$

Passaggio 3.5.2.2

Per scrivere $- 36$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} - 36 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.5.2.3

$- 36$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72}{5} + \frac{- 36 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72 - 36 \cdot 5}{5}$

Passaggio 3.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Moltiplica $- 36$ per $5$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{72 - 180}{5}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Sottrai $180$ da $72$ .

$f (- \sqrt{6}) = \frac{- 108}{5}$

Passaggio 3.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \sqrt{6}) = - \frac{108}{5}$

Passaggio 3.5.2.7

La risposta finale è $- \frac{108}{5}$ .

$- \frac{108}{5}$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $- \sqrt{6}$ in $f (x) = \frac{1}{15} x^{6} - x^{4}$ è $(- \sqrt{6}, - \frac{108}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \sqrt{6}, - \frac{108}{5})$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\sqrt{6}, - \frac{108}{5}), (- \sqrt{6}, - \frac{108}{5})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{6})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.54948974$ nell'espressione.

$f'' (- 2.54948974) = 2 {(- 2.54948974)}^{4} - 12 {(- 2.54948974)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.54948974$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 2.54948974) = 2 \cdot 42.24867334 - 12 {(- 2.54948974)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $2$ per $42.24867334$ .

$f'' (- 2.54948974) = 84.49734668 - 12 {(- 2.54948974)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 2.54948974$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2.54948974) = 84.49734668 - 12 \cdot 6.49989794$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $6.49989794$ .

$f'' (- 2.54948974) = 84.49734668 - 77.99877538$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $77.99877538$ da $84.49734668$ .

$f'' (- 2.54948974) = 6.4985713$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $6.4985713$ .

$6.4985713$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 2.54948974$ , la derivata seconda è $6.4985713$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Crescente su $(- \infty, - \sqrt{6})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \sqrt{6}, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.22474487$ nell'espressione.

$f'' (- 1.22474487) = 2 {(- 1.22474487)}^{4} - 12 {(- 1.22474487)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.22474487$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1.22474487) = 2 \cdot 2.25 - 12 {(- 1.22474487)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2.25$ .

$f'' (- 1.22474487) = 4.5 - 12 {(- 1.22474487)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1.22474487$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.22474487) = 4.5 - 12 \cdot 1.5$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $1.5$ .

$f'' (- 1.22474487) = 4.5 - 18$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $18$ da $4.5$ .

$f'' (- 1.22474487) = - 13.5$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 13.5$ .

$- 13.5$

Passaggio 6.3

Per $- 1.22474487$ , la derivata seconda è $- 13.5$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \sqrt{6}, 0)$ .

Decrescente su $(- \sqrt{6}, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \sqrt{6})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.22474487$ nell'espressione.

$f'' (1.22474487) = 2 {(1.22474487)}^{4} - 12 {(1.22474487)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.22474487$ alla potenza di $4$ .

$f'' (1.22474487) = 2 \cdot 2.25 - 12 {(1.22474487)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2.25$ .

$f'' (1.22474487) = 4.5 - 12 {(1.22474487)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $1.22474487$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.22474487) = 4.5 - 12 \cdot 1.5$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $1.5$ .

$f'' (1.22474487) = 4.5 - 18$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $18$ da $4.5$ .

$f'' (1.22474487) = - 13.5$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 13.5$ .

$- 13.5$

Passaggio 7.3

Per $1.22474487$ , la derivata seconda è $- 13.5$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \sqrt{6})$ .

Decrescente su $(0, \sqrt{6})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt{6}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.54948974$ nell'espressione.

$f'' (2.54948974) = 2 {(2.54948974)}^{4} - 12 {(2.54948974)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $2.54948974$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2.54948974) = 2 \cdot 42.24867334 - 12 {(2.54948974)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $2$ per $42.24867334$ .

$f'' (2.54948974) = 84.49734668 - 12 {(2.54948974)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $2.54948974$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.54948974) = 84.49734668 - 12 \cdot 6.49989794$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $6.49989794$ .

$f'' (2.54948974) = 84.49734668 - 77.99877538$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $77.99877538$ da $84.49734668$ .

$f'' (2.54948974) = 6.4985713$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $6.4985713$ .

$6.4985713$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $2.54948974$ , la derivata seconda è $6.4985713$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\sqrt{6}, \infty)$ .

Crescente su $(\sqrt{6}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- \sqrt{6}, - \frac{108}{5}), (\sqrt{6}, - \frac{108}{5})$ .

$(- \sqrt{6}, - \frac{108}{5}), (\sqrt{6}, - \frac{108}{5})$

Passaggio 10