Calcolo Esempi

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x}{1 - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x}{1 - x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C$