Calcolo Esempi

$y = arcsec (\cos (2 x))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = arcsec (x)$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $arcsec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.3.2

$- 2$ e $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riordina $\cos^{2} (2 x)$ e $- 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ come $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Passaggio 3.4.6

Applica l'identità pitagorica.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

Passaggio 3.4.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.7.1

Riordina $- 1$ e $\sin^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

Passaggio 3.4.7.2

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

Passaggio 3.4.7.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Passaggio 3.4.8

Elimina il fattore comune di $\sin (2 x)$ .

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Passaggio 3.4.8.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Passaggio 3.4.8.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

Passaggio 3.4.9

Frazioni separate.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Passaggio 3.4.10

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.11

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{2}{i}$ per il coniugato di $i$ per rendere il denominatore reale.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.12

Moltiplica.

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Passaggio 3.4.12.1

Combina.

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.12.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.12.2.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.12.2.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.12.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.12.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.12.2.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.13

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.14

Riscrivi $- 1 \cdot (2 i)$ come $- (2 i)$ .

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.15

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (- 2 i \sec (2 x))$

Passaggio 3.4.16

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 i \sec (2 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 2 i \sec (2 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$