Calcolo Esempi

$y = (3 x^{4} - 7) \cdot (5 x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 3 x^{4} - 7$ e $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

$(3 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1] + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{4} - 7) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{4} - 7) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(3 x^{4} - 7) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Passaggio 2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $10 x$ e $0$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Passaggio 2.6.2

Sposta $10$ alla sinistra di $3 x^{4} - 7$ .

$10 \cdot (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.10

Moltiplica $4$ per $3$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Passaggio 2.11

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + 0)$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $12 x^{3}$ e $0$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3})$

Passaggio 2.12.2

Sposta $12$ alla sinistra di $5 x^{2} + 1$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + 12 \cdot (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(10 (3 x^{4}) + 10 \cdot - 7) x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + (12 (5 x^{2}) + 12 \cdot 1) x^{3}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $3$ per $10$ .

$30 x^{4} x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$30 (x^{1} x^{4}) + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$30 x^{1 + 4} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.4

Somma $1$ e $4$ .

$30 x^{5} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $10$ per $- 7$ .

$30 x^{5} - 70 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $5$ per $12$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{2} x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 (x^{3} x^{2}) + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{3 + 2} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.7.3

Somma $3$ e $2$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica $12$ per $1$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 x^{3}$

Passaggio 3.5.9

Somma $30 x^{5}$ e $60 x^{5}$ .

$90 x^{5} - 70 x + 12 x^{3}$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$90 x^{5} + 12 x^{3} - 70 x$