Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x)$

Passaggio 1.1.4.3

$2$ e $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x$

Passaggio 1.1.4.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6}{2} x$

Passaggio 1.1.4.5

$\frac{6}{2}$ e $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6 x}{2}$

Passaggio 1.1.4.6

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.6.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2}$

Passaggio 1.1.4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3 x}{1}$

Passaggio 1.1.4.6.2.4

Dividi $3 x$ per $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x + 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi ${(x + 1)}^{2}$ per $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.1.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{1 - 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 6}{4}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 6}{4}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Somma $- 3$ e $6$ .

$f (- 1) = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ è $(- 1, \frac{3}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, \frac{3}{4})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = 3 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) + 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = 3 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) + 3$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 + 6 (- 1.1) + 3$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 - 6.6 + 3$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $6.6$ da $3.63$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.97 + 3$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 2.97$ e $3$ .

$f'' (- 1.1) = 0.03$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0.03$ .

$0.03$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 1.1$ , la derivata seconda è $0.03$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.9$ nell'espressione.

$f'' (- 0.9) = 3 {(- 0.9)}^{2} + 6 (- 0.9) + 3$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.9$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.9) = 3 \cdot 0.81 + 6 (- 0.9) + 3$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 + 6 (- 0.9) + 3$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 - 5.4 + 3$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $5.4$ da $2.43$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.97 + 3$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 2.97$ e $3$ .

$f'' (- 0.9) = 0.03$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.03$ .

$0.03$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.9$ , la derivata seconda è $0.03$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, \infty)$ .

Crescente su $(- 1, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia segno, da più a meno o da meno a più. Sul grafico non ci sono punti che soddisfano queste condizioni.

Nessun punto di flesso