Calcolo Esempi

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x} - 2}{\sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x} - 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{12 - 8} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1.1

Sottrai $8$ da $12$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.6.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.6.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - 4}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x} - lim_{x \to 8} 4}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x} - lim_{x \to 8} 4}$

Passaggio 1.1.3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $24$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 4}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{24 - 8} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.2.1.1

Sottrai $8$ da $24$ .

$\frac{0}{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.6.2.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.6.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Passaggio 1.1.3.6.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x} - 2}{\sqrt{24 - x} - 4} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x} - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{12 - x} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{12 - x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{12 - x}$ come ${(12 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 12 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $12 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $12 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.4

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.13

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.14

$\frac{1}{2}$ e ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.15

$\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(12 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.16

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- 1 \cdot {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.17

Riscrivi $- 1 {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ come $- {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- {(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.18

Sposta ${(12 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{- 1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.3.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x} - 4]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{24 - x} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{24 - x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{24 - x}$ come ${(24 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(24 - x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 24 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $24 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $24 - x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [24 - x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.4

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.13

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2} {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.14

$\frac{1}{2}$ e ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.15

$\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{{(24 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.16

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 1 \cdot {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.17

Riscrivi $- 1 {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ come $- {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- {(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.18

Sposta ${(24 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{- 1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.7.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{- \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 {(12 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- (2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.5

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 1.5.1

Riscrivi ${(12 - x)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{12 - x}$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- (2 {(24 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi ${(24 - x)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{24 - x}$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- (2 \sqrt{24 - x}))$

Passaggio 1.6

Combina i fattori.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} (- 2 \sqrt{24 - x})$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 8} 2 \frac{1}{2 \sqrt{12 - x}} \sqrt{24 - x}$

Passaggio 1.6.3

$2$ e $\frac{1}{2 \sqrt{12 - x}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2}{2 \sqrt{12 - x}} \sqrt{24 - x}$

Passaggio 1.6.4

$\frac{2}{2 \sqrt{12 - x}}$ e $\sqrt{24 - x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{24 - x}}{2 \sqrt{12 - x}}$

Passaggio 1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{24 - x}}{2 \sqrt{12 - x}}$

Passaggio 1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{24 - x}}{\sqrt{12 - x}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Passaggio 2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $24$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}$

Passaggio 2.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x}}$

Passaggio 2.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x}}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$\frac{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{24 - 8}}{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{24 - 8}}{\sqrt{12 - 8}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Combina $\sqrt{24 - 8}$ e $\sqrt{12 - 8}$ in un singolo radicale.

$\sqrt{\frac{24 - 8}{12 - 8}}$

Passaggio 4.2

Sottrai $8$ da $24$ .

$\sqrt{\frac{16}{12 - 8}}$

Passaggio 4.3

Sottrai $8$ da $12$ .

$\sqrt{\frac{16}{4}}$

Passaggio 4.4

Dividi $16$ per $4$ .

$\sqrt{4}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2$