Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Allora $d u = (2 x + 2) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$2 x + 2$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Passaggio 1.3.3

Sottrai $3$ da $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Passaggio 1.5.3

Sottrai $3$ da $3$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $0$ e per $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

Passaggio 7.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 3$ e $0$ è $3$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

Passaggio 7.3

Dividi $0$ per $3$ .

$\frac{\ln (0)}{2}$

Passaggio 7.4

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

$\frac{\ln (0)}{2}$

Passaggio 8

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito