Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x + 1$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.2

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ per $1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 6.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Passaggio 6.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ per $2$ e per $1$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Passaggio 12.2

Calcola $e^{u}$ per $- 4$ e per $- 2$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Somma $2$ e $1$ .

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.3

Sposta $e^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.5

$- 3$ e $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.10

Sposta $e^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.12

$2$ e $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.13.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.13.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Passaggio 12.3.14

Per scrivere $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.15

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ e $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.17

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.18

$- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.19

$e^{4}$ e $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.20

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.21

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.21.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.21.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.21.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.21.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.21.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 12.3.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.2

Moltiplica $- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.2.1

$e^{- 4}$ e $\frac{e^{4}}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.2.2

Moltiplica $e^{- 4}$ per $e^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.2.2.2

Somma $- 4$ e $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.2.3

Semplifica $e^{0}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.3

Moltiplica $- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.3.2

Moltiplica $\frac{e^{4}}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.3.3

$\frac{e^{4}}{2}$ e $e^{- 2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.3.4

Moltiplica $e^{4}$ per $e^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.3.4.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.3.4.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.4

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.5

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.7.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.7.2

Sottrai $1$ da $- 6$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Moltiplica $\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ per $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

Passaggio 13.1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Passaggio 13.2

Per scrivere $\frac{1}{e^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Passaggio 13.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 e^{4}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $\frac{1}{e^{2}}$ per $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $e^{2}$ per $e^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Sposta $e^{2}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Passaggio 13.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Passaggio 13.3.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Passaggio 13.3.3

Riordina i fattori di $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Passaggio 13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Passaggio 13.5

Somma $4 e^{2}$ e $e^{2}$ .

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Forma decimale:

$0.13711673 \dots$

Passaggio 15