Calcolo Esempi

$y = arctanh (1 - 2 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = arctanh (x)$ e $g (x) = 1 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $arctanh (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

$- 2$ e $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Passaggio 3.1.3.2

Scomponi $2$ da $2 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Passaggio 3.1.3.2.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

Passaggio 3.1.3.2.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- x)$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

Passaggio 3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

Passaggio 3.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

Passaggio 3.1.3.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

Passaggio 3.1.3.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

Passaggio 3.1.3.7

Somma $0$ e $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

Passaggio 3.1.3.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4 (1 - x) x$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ .

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$