Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Passaggio 2.5

Somma $3$ e $1$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.5

$\frac{2}{3}$ e $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 5.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Passaggio 5.2.10

Sottrai $2$ da $16$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.2.12

Moltiplica $3$ per $14$ .

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.2.13

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{42}{6}$

Passaggio 5.2.14

Elimina il fattore comune di $42$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.14.1

Scomponi $6$ da $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Passaggio 5.2.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.14.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Passaggio 5.2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{1}$

Passaggio 5.2.14.2.4

Dividi $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 6