Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = 4 x + 5$ e $d v = e^{- x}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Passaggio 7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $(4 x + 5) (- e^{- x})$ per $2$ e per $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Passaggio 9.2

Calcola $e^{u}$ per $- 2$ e per $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.2

Somma $8$ e $5$ .

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $- 1$ per $13$ .

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.6

Somma $0$ e $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.11

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 9.3.12

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 9.3.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Passaggio 10.1.2

$- 13$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Passaggio 10.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Passaggio 10.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

Passaggio 10.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

Passaggio 10.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

Passaggio 10.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

Passaggio 10.4

Sottrai $4$ da $- 13$ .

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

Passaggio 10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

Passaggio 10.6

Somma $5$ e $4$ .

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Forma decimale:

$6.69930018 \dots$

Passaggio 12