Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Allora $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{3}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Passaggio 2.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Passaggio 3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $- \frac{1}{3} u_{2}$ per $e^{- t^{3}}$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

$e^{- t^{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Combina le frazioni usando un comune denominatore.

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Passaggio 6.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $- 1$ da $- e^{- t^{3}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

Passaggio 6.1.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi $- (e^{- t^{3}} - 1)$ come $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Passaggio 6.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite.

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Passaggio 6.2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Passaggio 6.2.2

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

Passaggio 6.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 6.3

Poiché l'esponente $- t^{3}$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- t^{3}}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 6.4

Calcola il limite.

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Passaggio 6.4.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.4.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

Passaggio 6.4.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 6.4.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{3}$