Calcolo Esempi

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 3.2

$x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 3.3

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ per $1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 7

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Passaggio 8.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riscrivi $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ come $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.2

$e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 13.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ nel numeratore.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 15.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 15.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ nel numeratore.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 15.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

Passaggio 15.3.3

Elimina il fattore comune.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 15.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Passaggio 15.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Passaggio 15.5

Combina $- e^{- 2 x} x$ e $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ usando un comune denominatore.

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Passaggio 15.5.1

Sposta $e^{- 2 x}$ .

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Passaggio 15.5.2

Per scrivere $- x e^{- 2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Passaggio 15.5.3

$- x e^{- 2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Passaggio 15.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

Passaggio 15.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.6.1

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ .

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Passaggio 15.6.1.1

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

Passaggio 15.6.1.2

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $- e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Passaggio 15.6.1.3

Scomponi $e^{- 2 x}$ da $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Passaggio 15.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

Passaggio 15.7

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

Passaggio 15.8

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

Passaggio 15.9

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

Passaggio 15.10

Riscrivi $- (2 x + 1)$ come $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

Passaggio 15.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

Passaggio 16

Rimuovi le parentesi.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$