Calcolo Esempi

12 \sum k = 5 {(- 1)}^{k} \cdot 2 k

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di

k

$k$ uguale a

1

$1$ .

12 \sum k = 5 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = 12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - 4 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Passaggio 2

Calcola

12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Metti in evidenza

2

$2$ nella sommatoria.

(2) 12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} k

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Passaggio 2.2

Espandi la serie per ciascun valore di

k

$k$ .

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Passaggio 2.3

Semplifica la forma estesa.

12

$12$

12

$12$

Passaggio 3

Calcola

4 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Espandi la serie per ciascun valore di

k

$k$ .

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

1

$1$ .

- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.4

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica

1

$1$ per

4

$4$ .

- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.7

Somma

- 2

$- 2$ e

4

$4$ .

2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.8

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

3

$3$ .

2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica

2

$2$ per

3

$3$ .

2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

6

$6$ .

2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.11

Sottrai

6

$6$ da

2

$2$ .

- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.12

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

4

$4$ .

- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica

2

$2$ per

4

$4$ .

- 4 + 1 \cdot 8

$- 4 + 1 \cdot 8$

Passaggio 3.2.14

Moltiplica

1

$1$ per

8

$8$ .

- 4 + 8

$- 4 + 8$

Passaggio 3.2.15

Somma

- 4

$- 4$ e

8

$8$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Passaggio 4

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

12 - 4

$12 - 4$

Passaggio 5

Sottrai

4

$4$ da

12

$12$ .

8

$8$