Calcolo Esempi

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $k$ uguale a $1$ .

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Metti in evidenza $2$ nella sommatoria.

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Passaggio 2.2

Espandi la serie per ciascun valore di $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Passaggio 2.3

Semplifica la forma estesa.

$12$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Espandi la serie per ciascun valore di $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $1$ per $4$ .

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.7

Somma $- 2$ e $4$ .

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.11

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Passaggio 3.2.13

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 4 + 1 \cdot 8$

Passaggio 3.2.14

Moltiplica $1$ per $8$ .

$- 4 + 8$

Passaggio 3.2.15

Somma $- 4$ e $8$ .

$4$

Passaggio 4

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$12 - 4$

Passaggio 5

Sottrai $4$ da $12$ .

$8$