Calcolo Esempi

$x^{2} e^{k x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{k x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = k x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $k x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $k x$ .

$x^{2} (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $k$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $k x$ rispetto a $x$ è $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $k$ per $1$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (e^{k x} k) + e^{k x} (2 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $e^{k x} x^{2} k + 2 e^{k x} x$ .

$x^{2} k e^{k x} + 2 x e^{k x}$