Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.1.3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.1.3.9

$- 4$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.1.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.15

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.2.16

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $- \frac{4}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Passaggio 1.1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.3.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 1.1.2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 1.1.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 1.1.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Passaggio 1.1.2.3.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Passaggio 1.1.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Passaggio 1.1.2.3.11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 1.1.2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 1.1.2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Passaggio 1.1.2.3.13.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 1.1.2.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Passaggio 1.1.2.3.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Passaggio 1.1.2.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Passaggio 1.1.2.3.14

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Passaggio 1.1.2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.3.16

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.3.17

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 1.1.2.3.18

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 1.1.2.3.19

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Passaggio 1.2.2.2

Since $9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ .

Passaggio 1.2.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.2.2.4

$9$ presenta fattori di $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Passaggio 1.2.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.2.2.6

Il minimo comune multiplo di $9, 9, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3 \cdot 3$

Passaggio 1.2.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9$

Passaggio 1.2.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 1.2.2.9

Il minimo comune multiplo di $9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ è la parte numerica $9$ moltiplicata per la parte variabile.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica per $9 x^{\frac{5}{3}}$ ciascun termine in $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ per $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$8 - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ nel numeratore.

$8 + \frac{- 2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.4.2

Scomponi $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ da $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.4.3

Scomponi $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ da $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{1}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.2.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Moltiplica $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{5}{3}}$ .

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Passaggio 1.2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = - 8$

Passaggio 1.2.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1

Semplifica ${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 2)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.3.1.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.3.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 8)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.3.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 8)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.3.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 8 x^{1} = {(- 8)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.3.1.1.4

Semplifica.

$- 8 x = {(- 8)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.2.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $3$ .

$- 8 x = - 512$

Passaggio 1.2.4.4

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x = - 512$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x = - 512$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 512}{- 8}$

Passaggio 1.2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 512}{- 8}$

Passaggio 1.2.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 512}{- 8}$

Passaggio 1.2.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.3.1

Dividi $- 512$ per $- 8$ .

$x = 64$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x^{1}}$

Passaggio 2.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 2.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 64) \cup (64, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 64)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{5}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{8}{0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$f'' (0) = Undefined$

Passaggio 4.6

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 64)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 64)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(64, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $66$ nell'espressione.

$f'' (66) = \frac{8}{9 {(66)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(66)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $- \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$ per $\frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}} \cdot 66^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $66^{\frac{4}{3}}$ per $66^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Sposta $66^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot (66^{\frac{1}{3}} \cdot 66^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{1 + 4}{3}}}$

Passaggio 5.2.3.2.4

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (66) = \frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(64, \infty)$ perché $f'' (66)$ è negativo.

Funzione concava su $(64, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 64)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(64, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7