Calcolo Esempi

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ , quindi $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 e^{3 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Sottrai $18 e^{3 x^{2}} x$ da $0$ .

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $- 18 e^{3 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ per $\frac{1}{18}$ .

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

Passaggio 3.3

Sposta $18$ alla sinistra di $\sqrt{u_{2}}$ .

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{18}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{18}$ fuori dall'integrale.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{18}$ e $- 5$ .

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7.2.2

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 7.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ come $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.2

$- 2$ e $\frac{5}{18}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$