Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{12} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{12} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.4

$\frac{4}{12}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [40 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 x^{2}$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 40 (2 x)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $40$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 80 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 80 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [80 x]$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [80 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $80$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $80 x$ rispetto a $x$ è $80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 18 x + 80 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} + 18 x + 80 \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $80$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + 18 x + 80$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} + 18 x + 80$ .

$x^{2} + 18 x + 80$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $x^{2} + 18 x + 80 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$x^{2} + 18 x + 80 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2} + 18 x + 80$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $80$ e la cui somma è $18$ .

$8, 10$

Passaggio 2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x + 8) (x + 10) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

$x + 10 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 10$ uguale a $0$ .

$x + 10 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 10$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 8) (x + 10) = 0$ vera.

$x = - 8, - 10$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 8$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = \frac{1}{12} \cdot {(- 8)}^{4} + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $4$ .

$f (- 8) = \frac{1}{12} \cdot 4096 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f (- 8) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 4096 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Scomponi $4$ da $4096$ .

$f (- 8) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 1024) + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- 8) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 1024) + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- 8) = \frac{1}{3} \cdot 1024 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $1024$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Eleva $- 8$ alla potenza di $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + 3 \cdot - 512 + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Moltiplica $3$ per $- 512$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 40 {(- 8)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.6

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 40 \cdot 64$

Passaggio 3.1.2.1.7

Moltiplica $40$ per $64$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 2560$

Passaggio 3.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Scrivi $- 1536$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536}{1} + 2560$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 1536}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2560$

Passaggio 3.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 1536}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + 2560$

Passaggio 3.1.2.2.4

Scrivi $2560$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560}{1}$

Passaggio 3.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{2560}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.1.2.2.6

Moltiplica $\frac{2560}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 8) = \frac{1024 - 1536 \cdot 3 + 2560 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Moltiplica $- 1536$ per $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024 - 4608 + 2560 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Moltiplica $2560$ per $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024 - 4608 + 7680}{3}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Sottrai $4608$ da $1024$ .

$f (- 8) = \frac{- 3584 + 7680}{3}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Somma $- 3584$ e $7680$ .

$f (- 8) = \frac{4096}{3}$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{3}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- 8$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ è $(- 8, \frac{4096}{3})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 8, \frac{4096}{3})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 10$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10$ nell'espressione.

$f (- 10) = \frac{1}{12} \cdot {(- 10)}^{4} + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $4$ .

$f (- 10) = \frac{1}{12} \cdot 10000 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f (- 10) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 10000 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Scomponi $4$ da $10000$ .

$f (- 10) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 2500) + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- 10) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 2500) + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- 10) = \frac{1}{3} \cdot 2500 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $2500$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Eleva $- 10$ alla potenza di $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + 3 \cdot - 1000 + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1000$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 40 {(- 10)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 40 \cdot 100$

Passaggio 3.3.2.1.7

Moltiplica $40$ per $100$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 4000$

Passaggio 3.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scrivi $- 3000$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000}{1} + 4000$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 3000}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4000$

Passaggio 3.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 3000}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + 4000$

Passaggio 3.3.2.2.4

Scrivi $4000$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000}{1}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{4000}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{4000}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 10) = \frac{2500 - 3000 \cdot 3 + 4000 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $- 3000$ per $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500 - 9000 + 4000 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Moltiplica $4000$ per $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500 - 9000 + 12000}{3}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Sottrai $9000$ da $2500$ .

$f (- 10) = \frac{- 6500 + 12000}{3}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Somma $- 6500$ e $12000$ .

$f (- 10) = \frac{5500}{3}$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $\frac{5500}{3}$ .

$\frac{5500}{3}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 10$ in $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ è $(- 10, \frac{5500}{3})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 10, \frac{5500}{3})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- 8, \frac{4096}{3}), (- 10, \frac{5500}{3})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, - 8) \cup (- 8, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 10)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10.1$ nell'espressione.

$f'' (- 10.1) = {(- 10.1)}^{2} + 18 (- 10.1) + 80$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 10.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 10.1) = 102.01 + 18 (- 10.1) + 80$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $18$ per $- 10.1$ .

$f'' (- 10.1) = 102.01 - 181.8 + 80$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $181.8$ da $102.01$ .

$f'' (- 10.1) = - 79.79 + 80$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 79.79$ e $80$ .

$f'' (- 10.1) = 0.21$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0.21$ .

$0.21$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 10.1$ , la derivata seconda è $0.21$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 10)$ .

Crescente su $(- \infty, - 10)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 10, - 8)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9$ nell'espressione.

$f'' (- 9) = {(- 9)}^{2} + 18 (- 9) + 80$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 9) = 81 + 18 (- 9) + 80$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $18$ per $- 9$ .

$f'' (- 9) = 81 - 162 + 80$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $162$ da $81$ .

$f'' (- 9) = - 81 + 80$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 81$ e $80$ .

$f'' (- 9) = - 1$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.3

Per $- 9$ , la derivata seconda è $- 1$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 10, - 8)$ .

Decrescente su $(- 10, - 8)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 8, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 7.9$ nell'espressione.

$f'' (- 7.9) = {(- 7.9)}^{2} + 18 (- 7.9) + 80$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 7.9$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 7.9) = 62.41 + 18 (- 7.9) + 80$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $18$ per $- 7.9$ .

$f'' (- 7.9) = 62.41 - 142.2 + 80$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $142.2$ da $62.41$ .

$f'' (- 7.9) = - 79.79 + 80$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 79.79$ e $80$ .

$f'' (- 7.9) = 0.21$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.21$ .

$0.21$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 7.9$ , la derivata seconda è $0.21$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 8, \infty)$ .

Crescente su $(- 8, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 10, \frac{5500}{3}), (- 8, \frac{4096}{3})$ .

$(- 10, \frac{5500}{3}), (- 8, \frac{4096}{3})$

Passaggio 9