Calcolo Esempi

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \cos (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${u_{2}}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta ${u_{2}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- 2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ come $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u_{2}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u_{2}} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 u_{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 \cos (2 x)} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Frazioni separate.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} + C$

Passaggio 9.2

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$

Passaggio 9.3

$\frac{1}{2}$ e $\sec (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x)}{2} + C$

Passaggio 9.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$