Calcolo Esempi

$\int x^{7} \cos (x^{4}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ come ${u_{1}}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{3}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 2.4

$\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ e $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 5.2

$\frac{u_{2}}{2}$ e $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} \cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u_{2}$ e $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 9

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$

Passaggio 10

Riscrivi $\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) - (- \cos (u_{2}) + C))$ come $\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$ .

$\frac{1}{4} (u_{2} \sin (u_{2}) + \cos (u_{2})) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} ({u_{1}}^{2} \sin ({u_{1}}^{2}) + \cos ({u_{1}}^{2})) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} ({(x^{2})}^{2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 12.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2 \cdot 2} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Passaggio 12.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin ({(x^{2})}^{2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{2 \cdot 2}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Passaggio 12.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos ({(x^{2})}^{2})) + C$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{2 \cdot 2})) + C$

Passaggio 12.1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}) + \cos (x^{4})) + C$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4})) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Passaggio 12.3

Moltiplica $\frac{1}{4} (x^{4} \sin (x^{4}))$ .

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Passaggio 12.3.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{4}}{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Passaggio 12.3.2

$\frac{x^{4}}{4}$ e $\sin (x^{4})$ .

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$

Passaggio 12.4

$\frac{1}{4}$ e $\cos (x^{4})$ .

$\frac{x^{4} \sin (x^{4})}{4} + \frac{\cos (x^{4})}{4} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} x^{4} \sin (x^{4}) + \frac{1}{4} \cos (x^{4}) + C$