Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (\ln (x))$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} x}}$

Passaggio 3.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Passaggio 3.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $\frac{1}{\ln (x)}$ per $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x \ln (x)}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x \ln (x)}$ tende a $0$ .

$e^{0}$

Passaggio 5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1$