Calcolo Esempi

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to π} x + π lim_{x \to π} \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $π$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{π + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{π + π \sec (π)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{π + π (- \sec (0))}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{π + π (- 1 \cdot 1)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{π + π \cdot - 1}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5.1.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π - 1 \cdot π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5.1.5

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$\frac{π - π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $π^{2}$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Sottrai $π^{2}$ da $π^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + π \sec (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π \sec (x)$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Passaggio 1.3.4.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Passaggio 1.3.5

Riordina i termini.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - π^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- π^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{x}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 2.5

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 2.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 2.8

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $π$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $π$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- \sec (0)) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Passaggio 4.1.2

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- 1 \cdot 1) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot - 1 \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Passaggio 4.1.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Passaggio 4.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- \tan (0)) + 1}{π}$

Passaggio 4.1.7

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- 0) + 1}{π}$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot 0 + 1}{π}$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $- π \cdot 0$ .

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Passaggio 4.1.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 π + 1}{π}$

Passaggio 4.1.9.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{π}$

Passaggio 4.1.10

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2 π}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2 π}$

Forma decimale:

$0.15915494 \dots$