Calcolo Esempi

$y = x^{2} \tanh (2 x - 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tanh (2 x - 1)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\tanh (2 x - 1)] + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tanh (x)$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\tanh (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\tanh (u)$ rispetto a $u$ è ${sech}^{2} (u)$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 + 0)) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) \cdot 2) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${sech}^{2} (2 x - 1)$ .

$x^{2} (2 \cdot {sech}^{2} (2 x - 1)) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 {sech}^{2} (2 x - 1)) + \tanh (2 x - 1) (2 x)$

Passaggio 3.8

Riordina i termini.

$2 x^{2} {sech}^{2} (2 x - 1) + 2 x \tanh (2 x - 1)$