Calcolo Esempi

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ come funzione.

$f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \sin (2 x) d x + \int 3 \cos (3 x) d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Passaggio 6

$\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int 3 \cos (3 x) d x$

Passaggio 9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (3 x) d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 3 x$ . Allora $d u_{2} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 11

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 1 \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 13.3

Moltiplica $\int \cos (u_{2}) d u_{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \sin (u_{2}) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \sin (u_{2}) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (u_{2}) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (3 x) + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$