Calcolo Esempi

$\tan^{5} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\tan^{5} (x)$ come funzione.

$f (x) = \tan^{5} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

Passaggio 5.2

Riscrivi ${\tan (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Passaggio 6

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Passaggio 7

Usa il teorema binomiale.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

Passaggio 8

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $\tan (x)$ per $1$ .

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Passaggio 8.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

Passaggio 8.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 12

Sia $u_{1} = \sec (x)$ . Allora $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 12.1

Sia $u_{1} = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 12.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 12.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Passaggio 14

Sia $u_{2} = \sec (x)$ . Allora $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 14.1

Sia $u_{2} = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 14.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 14.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 14.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Passaggio 15

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{3}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

$\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 16.2

Semplifica.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \tan^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$