Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)} d x$

Passaggio 3

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ a $\csc^{2} (4 x)$ .

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = 3 x + 2$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = 3 x + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 6.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 6.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 7.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 9.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 9.2.2

Sposta ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{5}{6} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 9.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = 4 x$ . Allora $d u_{2} = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = 4 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Passaggio 12

$\csc^{2} (u_{2})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 14

Poiché la derivata di $- \cot (u_{2})$ è $\csc^{2} (u_{2})$ , l'integrale di $\csc^{2} (u_{2})$ è $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica.

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

Passaggio 15.2

$\frac{1}{4}$ e $\cot (u_{2})$ .

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x + 2$ .

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (4 x)}{4} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$