Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Allora $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4 x^{3} + 4 x$ e $0$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Passaggio 1.3.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $9$ .

$u_{lower} = 9$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Passaggio 1.5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$u_{upper} = 3 + 9$

Passaggio 1.5.3

Somma $3$ e $9$ .

$u_{upper} = 12$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$u^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $12$ e per $9$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $12^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Passaggio 5.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 5.2.7

$- 27$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $- 54$ e $3$ .

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Passaggio 5.2.9.1

Scomponi $3$ da $- 54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Passaggio 5.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Passaggio 5.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Passaggio 5.2.9.2.4

Dividi $- 18$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Passaggio 6.2

Combina.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 18$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Passaggio 6.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Passaggio 6.4

$\frac{1}{2}$ e $- 9$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 6.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $2$ da $1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 6.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.5.2.1

Scomponi $2$ da $4 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 \cdot (12^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $12^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 6.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Forma decimale:

$2.42820323 \dots$

Passaggio 8