Calcolo Esempi

$\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.3

Scomponi ${\sqrt{2}}^{2}$ da $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.4

Scomponi ${\sqrt{2}}^{2}$ da ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.6.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.7

Riordina $2$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\cos (t) \sqrt{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2} \cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $\sqrt{2} \cos (t)$ da $\cos (t) \sqrt{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) (1)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) \cdot 1} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\int {(\sqrt{2} \sin (t))}^{3} d t$

Passaggio 5.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int {\sqrt{2}}^{3} \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$\int \sqrt{2^{3}} \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 5.2.2.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\int \sqrt{8} \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 6

Poiché $\sqrt{8}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\sqrt{8}$ fuori dall'integrale.

$\sqrt{8} \int \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 7

Metti in evidenza $\sin^{2} (t)$ .

$\sqrt{8} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Passaggio 8

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (t)$ come $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\sqrt{8} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Passaggio 9

Sia $u = \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 9.1.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\sqrt{8} \int - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\sqrt{8} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\sqrt{8} (- u + C + \int u^{2} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$2 \sqrt{2} (- u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (t)$ .

$2 \sqrt{2} (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3}) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$2 \sqrt{2} (- \cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ . Perciò, $\cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ è $\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.8

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.9.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.9.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.9.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.9.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.10

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.10.5

Calcola l'esponente.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.11

Espandi $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.12

Combina i termini opposti in $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.12.1

Riordina i fattori nei termini di $\sqrt{2} (- x)$ e $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.12.2

Somma $- x \sqrt{2}$ e $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.12.3

Somma $\sqrt{2} \sqrt{2}$ e $0$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.13.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.13.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.13.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.13.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.13.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.13.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.13.6.1

Sposta $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.13.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.14

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ come $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.15.1

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.8

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.15.9.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.9.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.9.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.9.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.10

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.15.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.15.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.10.5

Calcola l'esponente.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.11

Espandi $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.15.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.12

Combina i termini opposti in $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ .

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Passaggio 15.1.15.12.1

Riordina i fattori nei termini di $\sqrt{2} (- x)$ e $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.12.2

Somma $- x \sqrt{2}$ e $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.12.3

Somma $\sqrt{2} \sqrt{2}$ e $0$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.13

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.15.13.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.13.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.13.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.13.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.13.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.13.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 15.1.15.13.6.1

Sposta $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.13.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.14

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ come $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{(\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}})}^{3}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.15

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{{\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.16

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.1.15.16.1

Riscrivi ${\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}$ come $\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.16.2

Metti in evidenza ${(2 - x^{2})}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{2} (2 - x^{2})}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.16.3

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{(2 - x^{2}) \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.16.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.16.5

Scomponi $\sqrt{2 - x^{2}}$ da $2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Passaggio 15.1.15.16.5.1

Scomponi $\sqrt{2 - x^{2}}$ da $2 \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.16.5.2

Scomponi $\sqrt{2 - x^{2}}$ da $- x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.16.5.3

Scomponi $\sqrt{2 - x^{2}}$ da $\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.17

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 15.1.15.17.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{3}}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.17.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{8}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.17.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 15.1.15.17.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{4 (2)}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.17.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.15.17.4

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}}}{3}) + C$

Passaggio 15.1.16

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Passaggio 15.1.17

Combina.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2}) \cdot 1}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

Passaggio 15.1.18

Moltiplica $\sqrt{2 - x^{2}}$ per $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

Passaggio 15.1.19

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Passaggio 15.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sqrt{2} \cdot 6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 15.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{6}{6}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{\sqrt{2} \cdot 6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Passaggio 15.3.2

Riordina i fattori di $\sqrt{2} \cdot 6$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{6 \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Passaggio 15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}} + C$

Passaggio 15.5

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{2}$ .

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Passaggio 15.5.1

Scomponi $2 \sqrt{2}$ da $6 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} (3)} + C$

Passaggio 15.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3} + C$

Passaggio 15.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 15.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.6.1

Scomponi $\sqrt{2 - x^{2}}$ da $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ .

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Passaggio 15.6.1.1

Scomponi $\sqrt{2 - x^{2}}$ da $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 15.6.1.2

Scomponi $\sqrt{2 - x^{2}}$ da $\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 15.6.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 15.6.3

Somma $- 6$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 4 - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 15.7

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - x^{2})}{3} + C$

Passaggio 15.8

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - (x^{2}))}{3} + C$

Passaggio 15.9

Scomponi $- 1$ da $- 1 (4) - (x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4 + x^{2}))}{3} + C$

Passaggio 15.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$