Calcolo Esempi

$\int 6 x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 2 - 3 x^{5}$ . Allora $d u = - 15 x^{4} d x$ , quindi $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 2 - 3 x^{5}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 - 3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{5}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$0 - 3 (5 x^{4})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$0 - 15 x^{4}$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $15 x^{4}$ da $0$ .

$- 15 x^{4}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$6 \int u^{7} \frac{1}{- 15} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 \int u^{7} (- \frac{1}{15}) d u$

Passaggio 3.2

$u^{7}$ e $\frac{1}{15}$ .

$6 \int - \frac{u^{7}}{15} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$6 (- \int \frac{u^{7}}{15} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 6 \int \frac{u^{7}}{15} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{15}$ fuori dall'integrale.

$- 6 (\frac{1}{15} \int u^{7} d u)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{15}$ e $- 6$ .

$\frac{- 6}{15} \int u^{7} d u$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{15} \int u^{7} d u$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{5} \int u^{7} d u$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{5} \int u^{7} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ come $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{8 \cdot 5} u^{8} + C$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $8$ per $5$ .

$- \frac{2}{40} u^{8} + C$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{40} u^{8} + C$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $40$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Passaggio 9.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Passaggio 9.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{20} u^{8} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - 3 x^{5}$ .

$- \frac{1}{20} {(2 - 3 x^{5})}^{8} + C$