Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ come $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $x^{3} + 3 x^{2}$ come $x^{2} (x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Passaggio 1.1.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Passaggio 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.9.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.9.4

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.12

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.13.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.13.2

Moltiplica $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.1.15

Moltiplica ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.16

Per scrivere ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.17

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.19

Moltiplica ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.19.1

Sposta ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.19.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.20

Semplifica ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.21

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.22.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.22.2.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.22.2.2

Somma $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.22.3

Scomponi $3$ da $3 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.22.3.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.22.3.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.22.3.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 2) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 2) = 0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $x + 2$ per $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 12$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 12$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 3.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Dividi $- 12$ per $4$ .

$x = - 3$

Passaggio 3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 3}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 3 < 0$

Passaggio 3.5

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < - 3$

Passaggio 3.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$\sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\sqrt{- 8 + 12}$

Passaggio 4.1.2.4

Somma $- 8$ e $12$ .

$\sqrt{4}$

Passaggio 4.1.2.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$\sqrt{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{- 27 + 3 \cdot 9}$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\sqrt{- 27 + 27}$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $- 27$ e $27$ .

$\sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 2, 2), (- 3, 0)$

Passaggio 5