Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Dividi la frazione $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ in due frazioni.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 9 + 16 x^{2}$ . Allora $d u = 32 x d x$ , quindi $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 9 + 16 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + 16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 16 (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $16$ .

$0 + 32 x$

Passaggio 4.1.4

Somma $0$ e $32 x$ .

$32 x$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{32}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $32$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{32}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{32}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{32}$ e $2$ .

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 9

Scomponi $16$ da $9 + 16 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $16$ da $9$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

Passaggio 9.2

Scomponi $16$ da $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

Passaggio 9.3

Scomponi $16$ da $16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{16}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

Passaggio 11

Riscrivi $\frac{9}{16}$ come ${(\frac{3}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

Passaggio 13.1.4

$x$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

Passaggio 13.1.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

Passaggio 13.1.6

$\frac{4}{3}$ e $\arctan (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Passaggio 13.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $\frac{1}{16}$ per $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $16$ per $3$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Passaggio 13.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Passaggio 13.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $48$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Passaggio 13.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Passaggio 13.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$