Calcolo Esempi

$y = {\sin (x)}^{\ln (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{\ln (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi ${\sin (x)}^{\ln (x)}$ come $e^{\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})}]$

Passaggio 3.1.2

Espandi $\ln ({\sin (x)}^{\ln (x)})$ spostando $\ln (x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (x))}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (x))$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (x) \ln (\sin (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.5

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.6

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Passaggio 3.7

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{1}{x})$

Passaggio 3.8

$\ln (\sin (x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x)) + \frac{\ln (\sin (x))}{x})$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} (\ln (x) (\csc (x) \cos (x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \frac{\ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.9.2

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))}$ e $\frac{\ln (\sin (x))}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (x) \csc (x) \cos (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 3.9.3

Riordina i termini.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))}{x}$