Calcolo Esempi

$(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

Passaggio 1

Scrivi $(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ come funzione.

$f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

$\frac{5}{8}$ e $x^{4}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 \frac{1}{x}) d x d x$

Passaggio 4.1.3

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + \frac{2}{x}) d x d x$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} d - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

$\frac{5 x^{4}}{8}$ e $d$ .

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

Passaggio 4.3.2

$\frac{2}{x}$ e $d$ .

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2 d}{x}) x d x$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{5 x^{4} d}{8} x - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $\frac{5 x^{4} d}{8} x$ .

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Passaggio 4.5.1.1

$\frac{5 x^{4} d}{8}$ e $x$ .

$\int \frac{5 x^{4} d x}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{5 d (x^{4} x^{1})}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.1.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{5 d x^{4 + 1}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.1.4

Somma $4$ e $1$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.5.2.1

Sposta $x$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x \cdot x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 4.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x^{1} x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{1 + 2} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Passaggio 4.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + 2 d d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{5 d}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5 d}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5 d}{8} \int x^{5} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Passaggio 8

$\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Passaggio 9

Poiché $- 3 d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3 d$ fuori dall'integrale.

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d \int x^{3} d x + \int 2 d d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 d d x$

Passaggio 11

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int 2 d d x$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 d x + C$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{5 d x^{6}}{48} - \frac{3 d x^{4}}{4} + 2 d x + C$

Passaggio 14

Rimuovi le parentesi.

$\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$