Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{3 x^{3} + 6} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x^{3} + 6$ . Allora $d u = 9 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x^{3} + 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x^{3} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{3} + 6$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 6$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $6$ .

$u_{lower} = 6$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{3} + 6$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 6$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$u_{upper} = 3 + 6$

Passaggio 1.5.2

Somma $3$ e $6$ .

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 9$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{6}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{9} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\int_{6}^{9} \frac{\sqrt{u}}{9} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{6}^{9}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $9$ e per $6$ .

$\frac{1}{9} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

$\frac{2}{3}$ e $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Moltiplica $2$ per $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7

Elimina il fattore comune di $54$ e $3$ .

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Passaggio 6.2.7.1

Scomponi $3$ da $54$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.7.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.8

$6^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{6^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Passaggio 6.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{9} \cdot 18 + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (2)) + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 2) + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$ .

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{9 \cdot 3}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{27}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{27}$

Forma decimale:

$0.91133789 \dots$

Passaggio 9