Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Espandi $(3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2}) x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 3 x^{3} x^{- 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3 x^{3 - 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$\int 3 x^{1} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$\int 3 x - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 3 x - 7 x^{2 - 2} + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.7

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int 3 x - 7 x^{0} + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 3 x - 7 \cdot 1 + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.9

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\int 3 x - 7 + 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.10

Sposta $- 7$ .

$\int 3 x + 4 x^{- 2} - 7 d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Passaggio 8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Passaggio 10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 7 d x$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Passaggio 13.3

Riordina i termini.

$\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$