Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $(- 2, 2)$

Passaggio 1

Trova i punti critici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{4} - 16}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4} - 16}$ come ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Passaggio 1.1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Passaggio 1.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Passaggio 1.1.1.3.4

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 1.1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.5.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.1.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Passaggio 1.1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Passaggio 1.1.1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

$- 8$ e $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Passaggio 1.1.1.5.3

$x^{3}$ e $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5.4

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x^{3} = 0$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 1.2.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $8$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Imposta il denominatore in $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.1.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.4.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.1.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.1.6

Applica la regola del prodotto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.3

Imposta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Imposta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.3.2

Risolvi ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.1

Poni $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.3.2.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.2.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 1.3.2.3.2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 1.3.2.4

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.4.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.3.2.4.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.3.2.5

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.5.1

Imposta ${(x - 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2.5.2

Risolvi ${(x - 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.5.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.3.2.5.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.3.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ vera.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Passaggio 1.3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Passaggio 1.4

Risolvi $\frac{2}{x^{4} - 16}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Passaggio 1.4.1.2.1.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Passaggio 1.4.1.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Passaggio 1.4.1.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Passaggio 1.4.1.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Passaggio 1.4.1.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 8}$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 1.4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Sottrai $16$ da $16$ .

$\frac{2}{0}$

Passaggio 1.4.2.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Passaggio 1.4.3.2.2

Sottrai $16$ da $16$ .

$\frac{2}{0}$

Passaggio 1.4.3.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 1.4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, - \frac{1}{8})$

Passaggio 2

Usa il test della derivata prima per determinare quale punto può essere il massimo o il minimo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 2.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai $16$ da $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Eleva $240$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Passaggio 2.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Moltiplica $8$ per $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Passaggio 2.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 512$ e $57600$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.1

Scomponi $256$ da $- 512$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Passaggio 2.2.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.2.2.1

Scomponi $256$ da $57600$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Passaggio 2.2.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Passaggio 2.2.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Passaggio 2.2.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Passaggio 2.2.2.4

La risposta finale è $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Passaggio 2.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Sottrai $16$ da $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2.2.3

Eleva $- 15$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Passaggio 2.3.2.4

La risposta finale è $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Passaggio 2.4

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 3

Confronta i valori $f (x)$ trovati per ciascun valore di $x$ per determinare il massimo e il minimo assoluti su un intervallo dato. Il massimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più alto, mentre il minimo comparirà in corrispondenza del valore $f (x)$ più basso.

Massimo assoluto: $(0, - \frac{1}{8})$

Nessun minimo assoluto

Passaggio 4