Calcolo Esempi

$y = \ln (4 x^{2} + b)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x^{2} + b$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} + b$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + b]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + b]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} + b$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + b]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + b$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [b])$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [b])$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (8 x + \frac{d}{d x} [b])$

Passaggio 2.5

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (8 x + 0)$

Passaggio 2.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.6.1

Somma $8 x$ e $0$ .

$\frac{1}{4 x^{2} + b} (8 x)$

Passaggio 2.6.2

$8$ e $\frac{1}{4 x^{2} + b}$ .

$\frac{8}{4 x^{2} + b} x$

Passaggio 2.6.3

$\frac{8}{4 x^{2} + b}$ e $x$ .

$\frac{8 x}{4 x^{2} + b}$