Calcolo Esempi

$S (t) = 2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.7

$\frac{3}{2}$ e $t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.8

$2$ e $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.10

Scomponi $2$ da $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.2.11.4

Dividi $3 t^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 9 t$ rispetto a $t$ è $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + \frac{d}{d t} [6]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $6$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ e $0$ .

$f' (t) = 3 t^{\frac{1}{2}} - 9$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.8

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.9

$3$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.2.10

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (t) = \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $S (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$