Calcolo Esempi

$y = e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - e$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - e$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - e$ .

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - e$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 2.4

Poiché $- e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $0$ .

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $e^{x - e}$ per $1$ .

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- \frac{1}{e}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{e}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.1.1

Per scrivere $e^{x - e}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Passaggio 5.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

Passaggio 5.1.4

Per scrivere $- \frac{1}{e}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.1.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x e$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.1.5.1

Moltiplica $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ per $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

Passaggio 5.1.5.3

Riordina i fattori di $x e$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

Passaggio 5.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$