Calcolo Esempi

$\int x (\sqrt{x} + \frac{2}{x^{3}}) d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int x \sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (- x^{- 1}) + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- 1} + C$