Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$ come ${(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 3 x^{5} - 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{5} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{5} - 2 x$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{5} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$ .

$- (15 x^{4} - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- (15 x^{4}) - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$(- 15 x^{4} - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $x$ da $3 x^{5} - 2 x$ .

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Passaggio 4.6.1.1

Scomponi $x$ da $3 x^{5}$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.6.1.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) + x \cdot - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.6.1.3

Scomponi $x$ da $x (3 x^{4}) + x \cdot - 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4} - 2))}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Applica la regola del prodotto a $x (3 x^{4} - 2)$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 15 x^{4} + 2$ per $\frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15 x^{4} + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (15 x^{4}) + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (15 x^{4}) - 1 (- 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Scomponi $- 1$ da $- (15 x^{4}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $- (15 x^{4} - 2)$ come $- 1 (15 x^{4} - 2)$ .

$\frac{- 1 (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15 x^{4} - 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$