Calcolo Esempi

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 4

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Passaggio 5.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 5.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sin^{3} (t) d t$

Passaggio 6

Metti in evidenza $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Passaggio 7

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (t)$ come $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Passaggio 8

Sia $u = \cos (t)$ . Allora $d u = - \sin (t) d t$ , quindi $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = \cos (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Passaggio 8.1.2

La derivata di $\cos (t)$ rispetto a $t$ è $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 12

Semplifica.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (t)$ .

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$