Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x - 16$

Passaggio 1

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Passaggio 2

Applica la divisione sintetica su $\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x - 16}{x + 4}$ quando $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

Passaggio 2.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

	$1$

Passaggio 2.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 4$
	$1$

Passaggio 2.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 4$
	$1$	$- 8$

Passaggio 2.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 8)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(32)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 9)$ .

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 4$	$32$
	$1$	$- 8$

Passaggio 2.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 4$	$32$
	$1$	$- 8$	$23$

Passaggio 2.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(23)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(- 92)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 4$	$32$	$- 92$
	$1$	$- 8$	$23$

Passaggio 2.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 4$	$32$	$- 92$
	$1$	$- 8$	$23$	$- 91$

Passaggio 2.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 91)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(364)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 4$	$32$	$- 92$	$364$
	$1$	$- 8$	$23$	$- 91$

Passaggio 2.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 4$	$32$	$- 92$	$364$
	$1$	$- 8$	$23$	$- 91$	$348$

Passaggio 2.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 8 x^{2} + (23) x - 91 + \frac{348}{x + 4}$

Passaggio 2.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 8 x^{2} + 23 x - 91 + \frac{348}{x + 4}$

Passaggio 3

Poiché $- 4 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 4$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 4$

Passaggio 4

Applica la divisione sintetica su $\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x - 16}{x - 8}$ quando $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

Passaggio 4.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

	$1$

Passaggio 4.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(8)$ e posiziona il risultato di $(8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$8$
	$1$

Passaggio 4.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$8$
	$1$	$4$

Passaggio 4.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(8)$ e posiziona il risultato di $(32)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 9)$ .

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$8$	$32$
	$1$	$4$

Passaggio 4.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$8$	$32$
	$1$	$4$	$23$

Passaggio 4.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(23)$ per il divisore $(8)$ e posiziona il risultato di $(184)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$8$	$32$	$184$
	$1$	$4$	$23$

Passaggio 4.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$8$	$32$	$184$
	$1$	$4$	$23$	$185$

Passaggio 4.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(185)$ per il divisore $(8)$ e posiziona il risultato di $(1480)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$8$	$32$	$184$	$1480$
	$1$	$4$	$23$	$185$

Passaggio 4.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$8$	$32$	$184$	$1480$
	$1$	$4$	$23$	$185$	$1464$

Passaggio 4.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 4 x^{2} + (23) x + 185 + \frac{1464}{x - 8}$

Passaggio 4.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + 4 x^{2} + 23 x + 185 + \frac{1464}{x - 8}$

Passaggio 5

Poiché $8 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $8$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $8$

Passaggio 6

Applica la divisione sintetica su $\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x - 16}{x + 8}$ quando $x = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 8)$ e posiziona il risultato di $(- 8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 8$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 8$
	$1$	$- 12$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 12)$ per il divisore $(- 8)$ e posiziona il risultato di $(96)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 9)$ .

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 8$	$96$
	$1$	$- 12$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 8$	$96$
	$1$	$- 12$	$87$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(87)$ per il divisore $(- 8)$ e posiziona il risultato di $(- 696)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 8$	$96$	$- 696$
	$1$	$- 12$	$87$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 8$	$96$	$- 696$
	$1$	$- 12$	$87$	$- 695$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 695)$ per il divisore $(- 8)$ e posiziona il risultato di $(5560)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 8$	$96$	$- 696$	$5560$
	$1$	$- 12$	$87$	$- 695$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 8$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 8$	$96$	$- 696$	$5560$
	$1$	$- 12$	$87$	$- 695$	$5544$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 12 x^{2} + (87) x - 695 + \frac{5544}{x + 8}$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 12 x^{2} + 87 x - 695 + \frac{5544}{x + 8}$

Passaggio 7

Poiché $- 8 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 8$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 8$

Passaggio 8

Applica la divisione sintetica su $\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x - 16}{x - 16}$ quando $x = 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

Passaggio 8.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

	$1$

Passaggio 8.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(16)$ e posiziona il risultato di $(16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$16$
	$1$

Passaggio 8.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$16$
	$1$	$12$

Passaggio 8.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(12)$ per il divisore $(16)$ e posiziona il risultato di $(192)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 9)$ .

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$16$	$192$
	$1$	$12$

Passaggio 8.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$16$	$192$
	$1$	$12$	$183$

Passaggio 8.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(183)$ per il divisore $(16)$ e posiziona il risultato di $(2928)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$16$	$192$	$2928$
	$1$	$12$	$183$

Passaggio 8.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$16$	$192$	$2928$
	$1$	$12$	$183$	$2929$

Passaggio 8.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2929)$ per il divisore $(16)$ e posiziona il risultato di $(46864)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$16$	$192$	$2928$	$46864$
	$1$	$12$	$183$	$2929$

Passaggio 8.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$16$	$192$	$2928$	$46864$
	$1$	$12$	$183$	$2929$	$46848$

Passaggio 8.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + 12 x^{2} + (183) x + 2929 + \frac{46848}{x - 16}$

Passaggio 8.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} + 12 x^{2} + 183 x + 2929 + \frac{46848}{x - 16}$

Passaggio 9

Poiché $16 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $16$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $16$

Passaggio 10

Applica la divisione sintetica su $\frac{x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + x - 16}{x + 16}$ quando $x = - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

Passaggio 10.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$

	$1$

Passaggio 10.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 16)$ e posiziona il risultato di $(- 16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 16$
	$1$

Passaggio 10.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 16$
	$1$	$- 20$

Passaggio 10.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 20)$ per il divisore $(- 16)$ e posiziona il risultato di $(320)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 9)$ .

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 16$	$320$
	$1$	$- 20$

Passaggio 10.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 16$	$320$
	$1$	$- 20$	$311$

Passaggio 10.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(311)$ per il divisore $(- 16)$ e posiziona il risultato di $(- 4976)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(1)$ .

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 16$	$320$	$- 4976$
	$1$	$- 20$	$311$

Passaggio 10.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 16$	$320$	$- 4976$
	$1$	$- 20$	$311$	$- 4975$

Passaggio 10.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4975)$ per il divisore $(- 16)$ e posiziona il risultato di $(79600)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 16$	$320$	$- 4976$	$79600$
	$1$	$- 20$	$311$	$- 4975$

Passaggio 10.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 16$	$1$	$- 4$	$- 9$	$1$	$- 16$
		$- 16$	$320$	$- 4976$	$79600$
	$1$	$- 20$	$311$	$- 4975$	$79584$

Passaggio 10.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 20 x^{2} + (311) x - 4975 + \frac{79584}{x + 16}$

Passaggio 10.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 20 x^{2} + 311 x - 4975 + \frac{79584}{x + 16}$

Passaggio 11

Poiché $- 16 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 16$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 16$

Passaggio 12

Determina i limiti superiore e inferiore.

Maggioranti: $8, 16$

Minoranti: $- 4, - 8, - 16$

Passaggio 13