Calcolo Esempi

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questa derivata usando la regola del quoziente. Mathway userà un altro metodo.

Passaggio 2

$\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x$ è una primitiva di $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ , quindi per definizione $\frac{d}{d x} [\int \frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)} d x]$ è $\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Passaggio 3.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sec (x) + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x) + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 3.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.7.1.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.7.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\cos (x)} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.7.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cos^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.7.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.7.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.7.3.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.3.2.1

Moltiplica $\cos (x)$ per $\cos^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.7.3.2.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.7.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 2}}{\sin (x)}$

Passaggio 3.7.3.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\cos (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.8.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8.2

Frazioni separate.

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8.3

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x)}{1} \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8.4

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{3} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8.5

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{3} (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8.6

Frazioni separate.

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3.8.7

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{1} \cot (x)$

Passaggio 3.8.8

Dividi $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) \cot (x) + \cos^{2} (x) \cot (x)$