Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{3 x - 6}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} 3 x - 6}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 3 x - 6}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x - 6}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x - 6}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} 3 x - 6}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x - 6}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 6}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{3 x - 6} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x - 6]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [3 x - 6]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x - 6]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [3 x - 6]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x - 6]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3 x - 6]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $3$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Calcola il limite di $\frac{1}{3}$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{3}$