Calcolo Esempi

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \cdot \sqrt{1 + x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \cdot \sqrt{1 + x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \cdot \sqrt{1 + x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \cdot \sqrt{1 + x}} d x$

Passaggio 4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

Passaggio 5

Completa il quadrato.

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Passaggio 5.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1

Espandi $(1 - x) (1 + x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

Passaggio 5.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Passaggio 5.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Passaggio 5.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Passaggio 5.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

Passaggio 5.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

Passaggio 5.1.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

Passaggio 5.1.2.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Passaggio 5.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - x^{2}$

Passaggio 5.1.3

Riordina $1$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Passaggio 5.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Passaggio 5.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 5.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 5.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 5.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 5.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 5.5.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Passaggio 5.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 1 + 0$

Passaggio 5.5.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$e = 1$

Passaggio 5.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

Passaggio 6

Sia $u = x + 0$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = x + 0$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 0$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Passaggio 7.2

Riordina $- u^{2}$ e $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

Passaggio 10

Somma $x$ e $0$ .

$\arcsin (x) + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \cdot \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$