Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

Passaggio 1

Riordina $1$ e $- x$ .

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

Passaggio 2

Dividi $x$ per $- x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Passaggio 2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Passaggio 2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Passaggio 2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u = - x + 1$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = - x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 5.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 5.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u_{upper} = - 2 + 1$

Passaggio 5.5.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $- x$ per $2$ e per $0$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Passaggio 9.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $- 1$ e per $1$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 9.3.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

Passaggio 11.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

Passaggio 11.3

Dividi $1$ per $1$ .

$- 2 - \ln (1)$

Passaggio 11.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 2 - 0$

Passaggio 11.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 2 + 0$

Passaggio 11.6

Somma $- 2$ e $0$ .

$- 2$

Passaggio 12